ARMA und ARIMA (Box-Jenkins) Modelle ARMA und ARIMA (Box-Jenkins) In den vorangegangenen Abschnitten haben wir gesehen, wie der Wert einer univariaten Zeitreihe zum Zeitpunkt t. X t. Kann mit einer Vielzahl von gleitenden Durchschnittsausdrücken modelliert werden. Wir haben auch gezeigt, dass Komponenten wie Trends und Periodizität in der Zeitreihe explizit modelliert und / oder getrennt werden können, wobei die Daten in Trend-, Saison - und Restkomponenten zerlegt werden. Wir haben auch gezeigt, in den früheren Diskussionen über Autokorrelation. Dass die vollständigen und partiellen Autokorrelationskoeffizienten äußerst nützlich sind, um Muster in Zeitreihen zu identifizieren und zu modellieren. Diese beiden Aspekte der Zeitreihenanalyse und Modellierung können in einem allgemeineren und oftmals sehr effektiven Gesamtmodellierungsrahmen kombiniert werden. In seiner Grundform ist dieser Ansatz als ARMA-Modellierung bekannt (autoregressiver gleitender Durchschnitt) oder wenn die Differenzierung in die Prozedur, die ARIMA - oder die Box-Jenkins-Modellierung, nach den beiden Autoren, die für ihre Entwicklung von zentraler Bedeutung waren, enthalten ist (siehe Box amp Jenkins, 1968) BOX1 und Box, Jenkins amp Reinsel, 1994 BOX2). Es gibt keine feste Regel bezüglich der Anzahl von Zeitperioden, die für eine erfolgreiche Modellierungsübung erforderlich sind, aber für komplexere Modelle und für ein größeres Vertrauen in Pass - und Validierungsverfahren werden häufig Reihen mit 50 Zeitschritten empfohlen. ARMA-Modelle kombinieren Autokorrelationsverfahren (AR) und gleitende Mittelwerte (MA) zu einem zusammengesetzten Modell der Zeitreihe. Bevor wir untersuchen, wie diese Modelle kombiniert werden können, untersuchen wir jeweils einzeln. Wir haben bereits gesehen, dass gleitende Durchschnittsmodelle (MA) verwendet werden können, um eine gute Anpassung an einige Datensätze bereitzustellen, und Variationen dieser Modelle, die eine doppelte oder dreifache exponentielle Glättung beinhalten, können Trend und periodische Komponenten in den Daten behandeln. Darüber hinaus können solche Modelle verwendet werden, um Prognosen zu erstellen, die das Verhalten früherer Perioden nachahmen. Eine einfache Form solcher Modelle, die auf früheren Daten basiert, kann folgendermaßen geschrieben werden: Wo die Betai-Terme die auf vorherige Werte in der Zeitreihe angewendeten Gewichte sind, ist es üblich, Betai & sub1; ohne Verlust der Allgemeinheit zu definieren. Somit gilt für ein Verfahren erster Ordnung q 1 und wir haben das Modell: d. h. der gleitende Mittelwert wird als ein gewichteter Mittelwert der aktuellen und unmittelbaren Vergangenheitswerte geschätzt. Dieses Mittelungsverfahren ist in gewissem Sinne ein pragmatischer Glättungsmechanismus ohne direkte Verbindung zu einem statistischen Modell. Jedoch können wir ein statistisches (oder stochastisches) Modell angeben, das die Prozeduren der gleitenden Mittelwerte in Verbindung mit zufälligen Prozessen umfasst. Wenn wir eine Menge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (ein Zufallsprozeß) mit Nullmittelwert und bekannter fester Varianz zulassen, dann können wir den Prozeß als einen gleitenden Durchschnitt der Ordnung q in folgenden Worten beschreiben: klar den Erwartungswert von xt unter Dieses Modell ist 0, also ist das Modell nur gültig, wenn das xt bereits auf einen null-Mittelwert eingestellt wurde oder wenn eine feste Konstante (der Mittelwert der xt) zur Summierung addiert wird. Es ist auch offensichtlich, dass die Varianz von xt einfach ist: Die obige Analyse kann erweitert werden, um die Kovarianz cov (x t xtk) auszuwerten, die Ausbeuten ergibt: Beachten Sie, dass weder der Mittelwert noch die Kovarianz (oder Autokovarianz) Bei der Verzögerung k ist eine Funktion der Zeit t. So dass der Prozess ist zweiter Ordnung stationär. Der obige Ausdruck ermöglicht es, einen Ausdruck für die Autokorrelationsfunktion (acf) zu erhalten: Wenn k 0 rho k 1 und für k gt q rho k 0. Ferner ist die acf symmetrisch und rho k rho - k. Die ACF kann für ein MA-Verfahren erster Ordnung berechnet werden: Die autoregressive oder AR-Komponente eines ARMA-Modells kann in der Form geschrieben werden: wobei die Terme in Autokorrelationskoeffizienten an den Lags 1,2 sind. P und zt ein Restfehlerterm ist. Es sei angemerkt, dass dieser Fehlerausdruck speziell die aktuelle Zeitperiode t betrifft. Also gilt für ein Verfahren erster Ordnung p 1 und wir haben das Modell: Diese Ausdrücke geben an, dass der geschätzte Wert von x zum Zeitpunkt t durch den unmittelbar vorhergehenden Wert von x (dh zum Zeitpunkt t -1) multipliziert mit einem Maß, alpha, bestimmt wird . Des Ausmaßes, in dem die Werte für alle Wertepaare zu Zeitperioden voneinander abweichen, korreliert (d. h. ihre Autokorrelation) plus einem Restfehlerterm, z. Zum Zeitpunkt t. Aber das ist genau die Definition eines Markov-Prozesses. So ist ein Markov-Prozess ein autoregressiver Prozess erster Ordnung. Wenn alpha & sub1; das Modell besagt, daß der nächste Wert von x einfach der vorhergehende Wert plus ein zufälliger Fehlerterm ist und daher ein einfacher 1D-Zufallsweg ist. Wenn mehr Ausdrücke enthalten sind, schätzt das Modell den Wert von x zum Zeitpunkt t durch eine gewichtete Summe dieser Ausdrücke zuzüglich einer Zufallsfehlerkomponente. Wenn wir den zweiten Ausdruck oben in den ersten Satz setzen, haben wir: und wiederholte Anwendung dieser Substitution ergibt sich: Wenn nun alpha lt1 und k groß sind, kann dieser Ausdruck in umgekehrter Reihenfolge mit abnehmenden Ausdrücken und mit Beitrag aus dem Ausdruck geschrieben werden In x auf der rechten Seite des Ausdrucks verschwindend klein, so haben wir: Da die rechte Seite dieses Ausdrucks xt als Summe eines gewichteten Satzes von vorherigen Werten, hier zufälligen Fehlertermen, klar ist, Dieses AR-Modell ist in der Tat eine Form des MA-Modells. Und wenn wir annehmen, daß die Fehlerterme null mittlere und konstante Varianz haben, so haben wir, wie im MA-Modell, den Erwartungswert des Modells auch als 0, wobei angenommen wird, daß die xt so eingestellt sind, daß sie einen Nullmittelwert mit Varianz liefern Wenn diese Summe endlich ist und einfach 1 / (1 - alpha) ist, so haben wir: Wie bei dem obengenannten MA-Modell kann diese Analyse erweitert werden, um die Kovarianz cov (xt · tk) von a zu evaluieren (1), so ergibt sich: Dies zeigt, dass für ein autoregressives Modell erster Ordnung die Autokorrelationsfunktion (acf) ist Einfach definiert durch sukzessive Potenzen der Autokorrelation erster Ordnung, mit der Bedingung alpha lt1. Für alpha gt0 ist dies einfach eine rasch abnehmende oder exponentialartige Kurve, die gegen Null strebt oder für lt0 eine dämpfende Oszillationskurve, die wiederum gegen Null geht. Wenn angenommen wird, dass die Zeitreihe stationär ist, kann die obige Analyse auf Autokorrelationen zweiter und höherer Ordnung erweitert werden. Um ein AR-Modell einem beobachteten Datensatz anzupassen, versuchen wir, die Summe der quadratischen Fehler (eine kleinste Quadrate-Anpassung) unter Verwendung der kleinsten Anzahl von Ausdrücken zu minimieren, die eine zufriedenstellende Anpassung an die Daten liefern. Modelle dieser Art werden als autoregressiv beschrieben. Und können sowohl auf Zeitreihen als auch auf räumliche Datensätze angewendet werden (siehe weiter, räumliche Autoregressionsmodelle). Obwohl in der Theorie ein autoregressives Modell eine gute Anpassung an einen beobachteten Datensatz bereitstellen könnte, würde es im allgemeinen eine vorherige Entfernung von Trend - und periodischen Komponenten erfordern und selbst dann eine große Anzahl von Ausdrücken benötigen, um eine gute Anpassung an die Daten zu gewährleisten. Durch die Kombination der AR-Modelle mit MA-Modellen können wir jedoch eine Familie von gemischten Modellen herstellen, die in einer Vielzahl von Situationen eingesetzt werden können. Diese Modelle sind als ARMA - und ARIMA-Modelle bekannt und werden in den folgenden Unterabschnitten beschrieben. In den beiden vorangegangenen Abschnitten haben wir den MA-Modus q: und das AR-Modell der Ordnung p eingeführt: Wir können diese beiden Modelle kombinieren, indem wir sie einfach als Modell der Ordnung (p. Q) zusammenfassen, wobei wir p AR-Terme haben Und q MA-Ausdrücke: Im Allgemeinen kann diese Form des kombinierten ARMA-Modells verwendet werden, um eine Zeitreihe mit weniger Ausdrücken insgesamt als ein MA - oder ein AR-Modell selbst zu modellieren. Sie drückt den Schätzwert zum Zeitpunkt t als Summe von q Gliedern aus, die die mittlere Veränderung der Zufallsvariation über q Vorperioden (die MA-Komponente) plus die Summe von p AR-Terme darstellen, die den aktuellen Wert von x als die gewichtete Summe berechnen Der p letzten Werte. Diese Form des Modells geht jedoch davon aus, dass die Zeitreihe stationär ist, was selten der Fall ist. In der Praxis gibt es Trends und Periodizität in vielen Datensätzen, so dass es notwendig ist, diese Effekte zu entfernen, bevor solche Modelle. Die Entfernung wird typischerweise durchgeführt, indem in das Modell eine anfängliche Differenzierungsstufe, typischerweise einmal, zweimal oder dreimal, aufgenommen wird, bis die Reihe zumindest annähernd stationär ist und keine offensichtlichen Trends oder Periodizitäten aufweist. Wie bei den MA - und AR-Prozessen wird der Differenzierungsprozeß durch die Reihenfolge der Differenzierung, z. B. 1, 2, 3, beschrieben. Zusammengenommen bilden diese drei Elemente ein Tripel: (S. d. Q), das die Art des angewandten Modells definiert. In dieser Form wird das Modell als ARIMA-Modell beschrieben. Der Buchstabe I in ARIMA bezieht sich auf die Tatsache, dass der Datensatz anfangs differenziert wurde (siehe Differenzierung), und wenn die Modellierung abgeschlossen ist, müssen die Ergebnisse dann summiert oder integriert werden, um die endgültigen Schätzungen und Prognosen zu erstellen. Die ARIMA-Modellierung wird nachfolgend diskutiert. Wie im vorigen Unterabschnitt erwähnt, bietet das Kombinieren der Differenzierung einer nichtstationären Zeitreihe mit dem ARMA-Modell eine starke Modellfamilie, die in einer Vielzahl von Situationen angewendet werden kann. Die Entwicklung dieser erweiterten Modellform ist vor allem auf die G E P Box und G M Jenkins zurückzuführen, so dass ARIMA-Modelle auch als Box-Jenkins-Modelle bekannt sind. Der erste Schritt des Box-Jenkins-Verfahrens besteht darin, die Zeitreihe bis zum Stillstand zu differenzieren, so dass Trend - und Saisonkomponenten entfernt werden. In vielen Fällen reicht eine ein - oder zweistufige Differenzierung aus. Die differenzierten Reihen sind kürzer als die Quellenreihe durch c Zeitschritte, wobei c der Bereich der Differenzierung ist. Anschließend wird ein ARMA-Modell an die resultierende Zeitreihe angepasst. Da ARIMA Modelle drei Parameter haben, gibt es viele Varianten zu den möglichen Modellen, die montiert werden könnten. Allerdings kann die Entscheidung darüber, was diese Parameter sein sollen, durch eine Reihe von Grundprinzipien geleitet werden: (i) Das Modell sollte so einfach wie möglich sein, dh möglichst wenige Begriffe enthalten, was wiederum die Werte von p und q bedeutet Sollte klein sein (ii) die Anpassung an historische Daten sollte so gut wie möglich sein, dh die Größe der quadrierten Differenzen zwischen dem geschätzten Wert in einem vergangenen Zeitraum und dem tatsächlichen Wert sollte minimiert werden (Prinzip der kleinsten Quadrate) - die Residuen Aus dem ausgewählten Modell können dann untersucht werden, um festzustellen, ob die verbleibenden Residuen signifikant von 0 verschieden sind (siehe weiter unten) (iii) die gemessene partielle Autokorrelation bei den Lags 1,2,3. Sollte eine Angabe der Reihenfolge der AR-Komponente geben, dh der für q (iv) gewählte Wert der Form der Autokorrelationsfunktion (acf) kann den Typ des erforderlichen ARIMA-Modells vorschlagen Interpretation der Form der acf in Bezug auf die Modellauswahl. ARIMA Modelltyp Auswahl mit acf Form Serie ist nicht stationär. Standard-ARIMA-Modelle werden oft durch das Dreifache beschrieben: (S. d. Q) wie oben erwähnt. Diese definieren die Struktur des Modells in der Reihenfolge der AR, Differenzierung und MA-Modelle verwendet werden. Es ist auch möglich, ähnliche Parameter für die Saisonalität in die Daten aufzunehmen, obwohl solche Modelle komplexer zu passen und zu interpretieren sind. Der Kuttel (P. D. Q) wird im allgemeinen verwendet, um solche Modellkomponenten zu identifizieren. Im unten dargestellten Screenshot von SPSS wird der Dialog zur manuellen Auswahl von nicht saisonalen und saisonalen Strukturelementen angezeigt (ähnliche Einrichtungen sind in anderen integrierten Paketen wie SAS / ETS verfügbar). Wie zu sehen ist, ermöglicht es der Dialog auch, die Daten zu transformieren (typischerweise zur Unterstützung der Varianzstabilisierung) und um den Benutzern zu ermöglichen, eine Konstante in dem Modell (die Voreinstellung) aufzunehmen. Dieses spezielle Software-Tool ermöglicht es, daß Ausreißer bei Bedarf detektiert werden können, gemß einer Reihe von Erfassungsverfahren, aber in vielen Fällen werden Ausreißer untersucht und eingestellt oder entfernt und ersetzte Werte, die geschätzt werden, vor einer solchen Analyse. SPSS Time Series Modellierer: ARIMA-Modellierung, Expertenmodus Eine Anzahl von ARIMA-Modellen kann manuell oder über einen automatisierten Prozess (zB ein schrittweises Verfahren) an die Daten angepasst werden Fit und sparsam. Der Modellvergleich verwendet typischerweise eine oder mehrere der in diesem Handbuch früher beschriebenen informationstheoretischen Maßnahmen - AIC, BIC und / oder MDL (die R-Funktion, arima (), stellt die AIC-Messung bereit, während SPSS eine Reihe von Anpassungsmaßnahmen bereitstellt, Enthalten eine Version der BIC-Statistik andere Werkzeuge variieren in den Maßnahmen - Minitab, die eine Reihe von TSA-Methoden, nicht enthalten AIC / BIC-Statistiken). In der Praxis kann eine breite Palette von Maßnahmen (dh neben / zusätzlich zu den Maßnahmen auf der Basis der kleinsten Quadrate zur Bewertung der Modellqualität verwendet werden, zB der mittlere absolute Fehler und der maximale absolute Fehler sinnvoll sein, da auch a Eine Reihe von Softwarepaketen kann auch eine Gesamtmessung der Autokorrelation vorsehen, die in den Resten nach dem Einbau des Modells verbleiben kann Eine häufig angewandte Statistik ist auf Ljung und Box (1978 LJU1) zurückzuführen, Und ist von der Form: wobei n die Anzahl der Abtastwerte (Datenwerte), ri die Abtastautokorrelation bei der Verzögerung i ist und k die Gesamtzahl der Verzögerungen ist, über die die Berechnung ausgeführt wird Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit k-m Freiheitsgraden, wobei m die Anzahl der Parameter ist, die bei der Anpassung des Modells verwendet werden, mit Ausnahme aller konstanten Term - oder Prädiktorvariablen (dh einschließlich der pd q-Tripel) Zeigt, dass die Residuen nach dem Einbau des Modells noch signifikante Autokorrelation aufweisen, was darauf hindeutet, dass ein verbessertes Modell gesucht werden sollte. Beispiel: Modellierung des Wachstums von Fluggastzahlen Im Folgenden sehen Sie ein Beispiel für eine automatisierte Anpassung, wobei SPSS auf die in diesem Handbuch vorgestellten Box-Jenkins-Reinsel-Testdaten der Fluggastzahlen REI1 verwendet wird. Anfangs war keine Spezifikation der Termine, die Monate innerhalb von Jahren angegeben wurden. Das Modell, das durch den automatisierten Prozess ausgewählt wurde, war ein ARIMA Modell (0,1,12), dh der Prozess identifizierte korrekt, dass die Serie eine Ebene der Differenzierung benötigte und ein gleitendes Durchschnittsmodell mit einer Periodizität von 12 und keine Autokorrelationskomponente anpaßte Daten. Das Modell passte einen R 2 - Wert von 0,966, der sehr hoch ist, und einen maximalen absoluten Fehler (MAE) von 75. Die visuelle Anpassung des Modells an die Daten sieht hervorragend aus, aber die graphische Darstellung der restlichen Autokorrelation nach dem Einbau und Ljung - Box-Test zeigt, dass signifikante Autokorrelation bleibt, was darauf hinweist, dass ein verbessertes Modell möglich ist. Automatisierte ARIMA - Anpassung an International Airline Passagiere: Monatliche Gesamtsumme, 1949-1960 Um dies zu untersuchen, wurde ein überarbeitetes Modell auf Basis der Diskussion dieses Datensatzes von Box und Jenkins (1968) und der aktualisierten Ausgabe von Chatfields (1975 CHA1) Die er Minitab verwendet, um seine Analyse zu illustrieren (6. Auflage, 2003). Die Zeitreihe wurde mit einer Periodizität von 12 Monaten und einem ARIMA-Modell mit Komponenten (0,1,1), (0,1,1) definiert. Graphisch sind die Ergebnisse sehr ähnlich dem obigen Diagramm, aber bei diesem Modell ist das R-Quadrat 0,991, die MAE41 und die Ljung-Box-Statistik ist nicht mehr signifikant (12,6, mit 16 Freiheitsgraden). Das Modell ist somit eine Verbesserung gegenüber der ursprünglichen (automatisch generierten) Version, die aus einer nicht saisonalen MA und einer saisonalen MA-Komponente, einer autoregressiven Komponente und einer Differenzierungsstufe für saisonale und nicht saisonale Strukturen besteht. Ob Armatur manuell oder automatisiert, ein ARIMA Modell kann ein gutes Rahmenwerk für die Modellierung einer Zeitreihe liefern, oder es kann sein, dass alternative Modelle oder Ansätze ein zufriedenstellenderes Ergebnis liefern. Oft ist es schwierig, im Voraus zu wissen, wie gut jedes gegebene Prognosemodell sein wird, da es nur im Licht seiner Fähigkeit ist, zukünftige Werte der Datenreihe vorherzusagen, dass es wirklich beurteilt werden kann. Oft wird dieser Prozeß durch Anpassen des Modells an vergangene Daten mit Ausnahme der letzten Zeitperioden (auch als Holdout-Abtastwerte bezeichnet) angenähert, und dann unter Verwendung des Modells, um diese bekannten zukünftigen Ereignisse vorherzusagen, aber auch dies bietet nur ein begrenztes Vertrauen in seine zukünftige Gültigkeit. Längerfristige Prognosen können mit solchen Methoden äußerst unzuverlässig sein. Es ist klar, dass das oben beschriebene internationale Luftverkehrsstatistikmodell nicht in der Lage ist, die Passagierzahlen bis in die 1990er Jahre und darüber hinaus korrekt vorherzusagen, noch den 5-jährigen Rückgang der US-amerikanischen Fluggastzahlen nach dem 11. September 2001. Ebenso kann ein ARIMA-Modell auf historische Werte von Börsenkursen oder Indexwerten (zB die NYSE - oder FTSE-Indizes) angepasst werden und wird typischerweise eine hervorragende Anpassung an die Daten liefern (was einen R-Quadrat-Wert von besser als 0,99 ergibt) Die oft nur wenig genutzt werden, um zukünftige Werte dieser Kurse oder Indizes vorherzusagen. Typischerweise werden ARIMA-Modelle zur Prognose eingesetzt, insbesondere im Bereich der makro - und mikroökonomischen Modellierung. Sie können jedoch in einem breiten Spektrum von Disziplinen angewendet werden, entweder in der hier beschriebenen Form oder mit zusätzlichen Vorhersagevariablen, von denen angenommen wird, dass sie die Zuverlässigkeit der Prognosen verbessern. Letztere sind wichtig, da die gesamte Struktur der oben diskutierten ARMA-Modelle von vorherigen Werten und unabhängigen Zufallsereignissen über die Zeit abhängt, nicht von erklärenden oder ursächlichen Faktoren. Daher werden ARIMA-Modelle nur die bisherigen Muster reflektieren und erweitern, die in Prognosen durch Faktoren wie das makroökonomische Umfeld, Technologieverschiebungen oder längerfristige Ressourcen - und / oder Umweltveränderungen modifiziert werden müssen. BOX1 Kasten G E P, Jenkins G M (1968). Einige jüngste Fortschritte in der Prognose und Kontrolle. (1994) Zeitreihenanalyse, - prognose und - steuerung. Zeitschrift für anorganische und allgemeine Chemie. 3. Aufl. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ CHA1 Chatfield C (1975) Die Analyse der Zeitreihen: Theorie und Praxis. Chapman und Hall, London (siehe auch, 6. Aufl. 2003) LJU1 Ljung G M, Kasten G E P (1978) Über einen Maßstab für einen Mangel an Fit in Zeitreihenmodellen. Biometrika, 65, 297303 NIST / SEMATECH e-Handbuch statistischer Methoden, itl. nist. gov/div898/handbook/ Abschnitt 6.4: Einführung in Zeitreihen. 2010 SPSS / PASW 17 (2008) AnalyzeForecasting (Zeitreihenmodelle) REI1 Reinsel GC Datensätze für Box-Jenkins Modelle: stat. wisc. edu/SPSS On-Line Training Workshop Die Zeitreihe bietet Ihnen die Möglichkeit, Modelle zu erstellen und ein bestehendes Modell anzuwenden Zur Zeitreihenanalyse, saisonale Zersetzung und Spektralanalyse von Zeitreihendaten sowie Werkzeuge zur Berechnung von Autokorrelationen und Kreuzkorrelationen. Die folgenden beiden Videoclips zeigen, wie man ein exponentielles Glättungs-Zeitreihenmodell erstellt und wie man ein vorhandenes Zeitreihenmodell zur Analyse von Zeitreihendaten anwendet. MOVIE: Exponentielles Glättungsmodell MOVIE: ARIMA Model amp Expert Modeler In diesem Online-Workshop finden Sie viele Videoclips. Jeder Filmclip wird einige spezifische Verwendung von SPSS demonstrieren. Erstellen Sie TS-Modelle. In SPSS stehen verschiedene Methoden zur Erstellung von Zeitreihenmodellen zur Verfügung. Es gibt Verfahren für exponentielle Glättung, univariate und multivariate autoregressive integrierte Moving-Average (ARIMA) Modelle. Diese Verfahren erzeugen Prognosen. Glättungsmethoden in der Prognose - Gleitende Mittelwerte, gewichtete gleitende Mittelwerte und exponentielle Glättungsmethoden werden oft in der Prognose verwendet. Das Hauptziel jeder dieser Methoden ist es, die zufälligen Schwankungen in der Zeitreihe zu glätten. Diese sind wirksam, wenn die Zeitreihe nicht signifikante Trend-, zyklische oder saisonale Effekte aufweist. Das heißt, die Zeitreihen sind stabil. Smoothing-Methoden sind in der Regel gut für kurzfristige Prognosen. Moving Averages: Moving Averages verwendet den Durchschnitt der letzten k Datenwerte in der Zeitreihe. Per Definition, MA S (die neuesten k Werte) / k. Der Mittelwert MA ändert sich, wenn neue Beobachtungen verfügbar sind. Gewichteter gleitender Durchschnitt: Bei der MA-Methode erhält jeder Datenpunkt das gleiche Gewicht. Im gewichteten gleitenden Durchschnitt verwenden wir unterschiedliche Gewichte für jeden Datenpunkt. Beim Auswählen der Gewichte berechnen wir den gewichteten Durchschnitt der letzten k Datenwerte. In vielen Fällen erhält der jüngste Datenpunkt das meiste Gewicht und das Gewicht verringert sich für ältere Datenpunkte. Die Summe der Gewichte ist gleich 1. Eine Möglichkeit, Gewichte auszuwählen, besteht darin, Gewichte zu verwenden, die das Kriterium des mittleren quadratischen Fehlers (MSE) minimieren. Exponentielle Glättungsmethode. Dies ist eine spezielle gewichtete Durchschnittsmethode. Diese Methode wählt das Gewicht für die jüngsten Beobachtungen und Gewichte für ältere Beobachtungen werden automatisch berechnet. Diese anderen Gewichte nehmen ab, wenn die Beobachtungen älter werden. Das grundlegende exponentielle Glättungsmodell ist, wo F t 1 für die Periode t 1, t die Beobachtung zur Periode t prognostiziert. F t Prognose für Periode t. Und einen Glättungsparameter (oder eine Konstante) (0 lt a lt1). Für eine Zeitreihe setzen wir F 1 1 für Periode 1 und nachfolgende Prognosen für Perioden 2, 3 können durch die Formel für F t 1 berechnet werden. Mit diesem Ansatz kann man zeigen, dass die exponentielle Glättungsmethode ein gewichteter Durchschnitt aller bisherigen Datenpunkte in der Zeitreihe ist. Sobald bekannt ist, müssen wir t und F t kennen, um die Prognose für den Zeitraum t 1 zu berechnen. Im Allgemeinen wählen wir ein a, das die MSE minimiert. Einfach: geeignet für Serien, in denen es keine Trend-oder Saisonalität. Moving Average (q) - Komponente: Gleitende durchschnittliche Aufträge geben an, wie Abweichungen von den Serienwerten für vorherige Werte verwendet werden, um aktuelle Werte vorherzusagen. Expert Time Series Modeler ermittelt automatisch die optimale Anpassung an die Zeitreihendaten. Standardmäßig berücksichtigt der Expert Modeler sowohl exponentielle Glättungs - als auch ARIMA-Modelle. Der Benutzer kann nur ARIMA - oder Smoothing-Modelle auswählen und die automatische Erkennung von Ausreißern festlegen. Der folgende Movieclip veranschaulicht, wie ein ARIMA-Modell mit der ARIMA-Methode und dem Expert Modeler von SPSS bereitgestellt wird. Der für diese Demonstration verwendete Datensatz ist der AirlinePassenger-Datensatz. Weitere Informationen finden Sie auf der Seite Datensatz. Die Fluggastdaten werden als Serie G im Buch Zeitreihenanalyse: Prognose und Kontrolle von Box und Jenkins (1976) angegeben. Die variable Zahl ist der monatliche Passagier in Tausenden. Unter der Protokolltransformation wurden die Daten in der Literatur analysiert. Wenden Sie Zeitreihenmodelle an. Dieses Verfahren lädt ein bestehendes Zeitreihenmodell aus einer externen Datei und das Modell wird auf das aktive SPSS-Dataset angewendet. Dies kann verwendet werden, um Prognosen für Serien zu erhalten, für die neue oder überarbeitete Daten verfügbar sind, ohne ein neues Modell zu bauen. Das Hauptdialogfeld ähnelt dem Hauptfenster von Modellen. Spektralanalyse. Dieses Verfahren kann verwendet werden, um periodisches Verhalten in Zeitreihen zu zeigen. Sequenzdiagramme. Dieses Verfahren wird verwendet, um die Fälle nacheinander abzufragen. Um dieses Verfahren ausführen zu können, benötigen Sie eine Zeitreihendaten oder einen Datensatz, der in einer sinnvollen Reihenfolge sortiert ist. Autokorrelationen. Dieses Verfahren zeigt die Autokorrelationsfunktion und die partielle Autokorrelationsfunktion einer oder mehrerer Zeitreihen. Kreuzkorrelationen. Dieses Verfahren stellt die Kreuzkorrelationsfunktion von zwei oder mehr Zeitreihen für positive, negative und Null-Verzögerungen dar. Weitere Informationen finden Sie im SPSS-Hilfemenü für das angewandte Zeitreihenmodell, Spektralanalyse, Sequenzdiagramme, Autokorrelationen und Kreuzkorrelationsverfahren. Seine Online-SPSS Training Workshop wird von Dr. Carl Lee, Dr. Felix Famoye entwickelt. Studentische Hilfskräfte Barbara Shelden und Albert Brown. Abteilung für Mathematik, Central Michigan University. Alle Rechte vorbehalten. RIMA steht für Autoregressive Integrated Moving Average Modelle. Univariate (Einzelvektor) ARIMA ist eine Prognosemethode, die die zukünftigen Werte einer Serie, die vollständig auf ihrer eigenen Trägheit basiert, projiziert. Seine Hauptanwendung liegt im Bereich der kurzfristigen Prognose mit mindestens 40 historischen Datenpunkten. Es funktioniert am besten, wenn Ihre Daten eine stabile oder konsistente Muster im Laufe der Zeit mit einem Minimum an Ausreißern zeigt. Manchmal nennt man Box-Jenkins (nach den ursprünglichen Autoren), ARIMA ist in der Regel überlegen exponentielle Glättung Techniken, wenn die Daten relativ lange und die Korrelation zwischen vergangenen Beobachtungen ist stabil. Wenn die Daten kurz oder stark flüchtig sind, kann eine gewisse Glättungsmethode besser ablaufen. Wenn Sie nicht über mindestens 38 Datenpunkte verfügen, sollten Sie eine andere Methode als ARIMA betrachten. Der erste Schritt bei der Anwendung der ARIMA-Methodik ist die Überprüfung der Stationarität. Stationarität impliziert, dass die Reihe auf einem ziemlich konstanten Niveau über Zeit bleibt. Wenn ein Trend besteht, wie in den meisten wirtschaftlichen oder geschäftlichen Anwendungen, dann sind Ihre Daten nicht stationär. Die Daten sollten auch eine konstante Varianz in ihren Schwankungen im Laufe der Zeit zeigen. Dies ist leicht zu sehen mit einer Serie, die stark saisonal und wächst mit einer schnelleren Rate. In einem solchen Fall werden die Höhen und Tiefen der Saisonalität im Laufe der Zeit dramatischer. Ohne dass diese Stationaritätsbedingungen erfüllt sind, können viele der mit dem Prozess verbundenen Berechnungen nicht berechnet werden. Wenn eine grafische Darstellung der Daten Nichtstationarität anzeigt, dann sollten Sie die Serie unterscheiden. Die Differenzierung ist eine hervorragende Möglichkeit, eine nichtstationäre Serie in eine stationäre zu transformieren. Dies geschieht durch Subtrahieren der Beobachtung in der aktuellen Periode von der vorherigen. Wenn diese Transformation nur einmal zu einer Reihe erfolgt, sagen Sie, dass die Daten zuerst unterschieden wurden. Dieser Prozess im Wesentlichen eliminiert den Trend, wenn Ihre Serie wächst mit einer ziemlich konstanten Rate. Wenn es mit steigender Rate wächst, können Sie das gleiche Verfahren anwenden und die Daten erneut differenzieren. Ihre Daten würden dann zweite differenziert werden. Autokorrelationen sind Zahlenwerte, die angeben, wie sich eine Datenreihe mit der Zeit auf sich bezieht. Genauer gesagt misst es, wie stark Datenwerte bei einer bestimmten Anzahl von Perioden auseinander über die Zeit miteinander korreliert werden. Die Anzahl der Perioden wird in der Regel als Verzögerung bezeichnet. Zum Beispiel misst eine Autokorrelation bei Verzögerung 1, wie die Werte 1 Periode auseinander in der Reihe miteinander korreliert sind. Eine Autokorrelation bei Verzögerung 2 misst, wie die Daten, die zwei Perioden voneinander getrennt sind, über die gesamte Reihe miteinander korrelieren. Autokorrelationen können im Bereich von 1 bis -1 liegen. Ein Wert nahe 1 gibt eine hohe positive Korrelation an, während ein Wert nahe -1 impliziert eine hohe negative Korrelation. Diese Maßnahmen werden meist durch grafische Darstellungen, sogenannte Korrelagramme, ausgewertet. Ein Korrelationsdiagramm zeigt die Autokorrelationswerte für eine gegebene Reihe bei unterschiedlichen Verzögerungen. Dies wird als Autokorrelationsfunktion bezeichnet und ist bei der ARIMA-Methode sehr wichtig. Die ARIMA-Methodik versucht, die Bewegungen in einer stationären Zeitreihe als Funktion der so genannten autoregressiven und gleitenden Durchschnittsparameter zu beschreiben. Diese werden als AR-Parameter (autoregessiv) und MA-Parameter (gleitende Mittelwerte) bezeichnet. Ein AR-Modell mit nur einem Parameter kann als geschrieben werden. X (t) A (1) X (t-1) E (t) wobei X (t) Zeitreihen A (1) der autoregressive Parameter der Ordnung 1 X (t-1) (T) der Fehlerterm des Modells Dies bedeutet einfach, dass jeder gegebene Wert X (t) durch eine Funktion seines vorherigen Wertes X (t-1) plus einen unerklärlichen Zufallsfehler E (t) erklärt werden kann. Wenn der geschätzte Wert von A (1) 0,30 betrug, dann wäre der aktuelle Wert der Reihe mit 30 seines vorherigen Wertes 1 verknüpft. Natürlich könnte die Serie auf mehr als nur einen vergangenen Wert bezogen werden. Zum Beispiel ist X (t) A (1) X (t-1) A (2) X (t-2) E (t) Dies zeigt an, dass der aktuelle Wert der Reihe eine Kombination der beiden unmittelbar vorhergehenden Werte ist, X (t-1) und X (t-2) zuzüglich eines Zufallsfehlers E (t). Unser Modell ist nun ein autoregressives Modell der Ordnung 2. Moving Average Models: Eine zweite Art von Box-Jenkins-Modell wird als gleitendes Durchschnittsmodell bezeichnet. Obwohl diese Modelle dem AR-Modell sehr ähnlich sind, ist das Konzept dahinter ganz anders. Bewegliche Durchschnittsparameter beziehen sich auf das, was in der Periode t stattfindet, nur auf die zufälligen Fehler, die in vergangenen Zeitperioden aufgetreten sind, dh E (t-1), E (t-2) usw. anstatt auf X (t-1), X T-2), (Xt-3) wie in den autoregressiven Ansätzen. Ein gleitendes Durchschnittsmodell mit einem MA-Begriff kann wie folgt geschrieben werden. X (t) - B (1) E (t-1) E (t) Der Begriff B (1) wird als MA der Ordnung 1 bezeichnet. Das negative Vorzeichen vor dem Parameter wird nur für Konventionen verwendet und in der Regel ausgedruckt Automatisch von den meisten Computerprogrammen. Das obige Modell sagt einfach, dass jeder gegebene Wert von X (t) direkt nur mit dem Zufallsfehler in der vorherigen Periode E (t-1) und mit dem aktuellen Fehlerterm E (t) zusammenhängt. Wie im Fall von autoregressiven Modellen können die gleitenden Durchschnittsmodelle auf übergeordnete Strukturen mit unterschiedlichen Kombinationen und gleitenden mittleren Längen erweitert werden. Die ARIMA-Methodik erlaubt es auch, Modelle zu erstellen, die sowohl autoregressive als auch gleitende Durchschnittsparameter zusammenführen. Diese Modelle werden oft als gemischte Modelle bezeichnet. Obwohl dies für eine kompliziertere Prognose-Tool macht, kann die Struktur tatsächlich simulieren die Serie besser und produzieren eine genauere Prognose. Pure Modelle implizieren, dass die Struktur nur aus AR oder MA-Parameter besteht - nicht beides. Die Modelle, die von diesem Ansatz entwickelt werden, werden in der Regel als ARIMA-Modelle bezeichnet, da sie eine Kombination aus autoregressiver (AR), Integration (I) verwenden, die sich auf den umgekehrten Prozess der Differenzierung bezieht, um die Prognose zu erzeugen. Ein ARIMA-Modell wird üblicherweise als ARIMA (p, d, q) angegeben. Dies ist die Reihenfolge der autoregressiven Komponenten (p), der Anzahl der differenzierenden Operatoren (d) und der höchsten Ordnung des gleitenden Mittelwerts. Beispielsweise bedeutet ARIMA (2,1,1), dass Sie ein autoregressives Modell zweiter Ordnung mit einer ersten gleitenden Durchschnittskomponente haben, deren Serie einmal differenziert wurde, um die Stationarität zu induzieren. Auswahl der richtigen Spezifikation: Das Hauptproblem in der klassischen Box-Jenkins versucht zu entscheiden, welche ARIMA-Spezifikation zu verwenden - i. e. Wie viele AR - und / oder MA-Parameter eingeschlossen werden sollen. Dies ist, was viel von Box-Jenkings 1976 dem Identifikationsprozeß gewidmet wurde. Es hing von der graphischen und numerischen Auswertung der Stichprobenautokorrelation und der partiellen Autokorrelationsfunktionen ab. Nun, für Ihre grundlegenden Modelle, ist die Aufgabe nicht allzu schwierig. Jeder hat Autokorrelationsfunktionen, die eine bestimmte Weise aussehen. Allerdings, wenn Sie gehen in der Komplexität, die Muster sind nicht so leicht zu erkennen. Um es schwieriger zu machen, stellen Ihre Daten nur eine Probe des zugrundeliegenden Prozesses dar. Das bedeutet, dass Stichprobenfehler (Ausreißer, Messfehler etc.) den theoretischen Identifikationsprozess verzerren können. Deshalb ist die traditionelle ARIMA-Modellierung eher eine Kunst als eine Wissenschaft.
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